يکسرگيردار کوتاه تير عيبيابي و ارتعاشي رفتار بررسي محوري

1 تا 1 صفحه 1394 زمستان 2 شماره 47 دوره Vol. 47, No. 2, Winter 2, pp. 1-1 مکانیک( )مهندسی امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه AmirKabir Jounrnal of Science & Research (Mechanical Engineering) (ASJR-ME) ترکدار يکسرگيردار کوتاه تير عيبيابي و ارتعاشي رفتار بررسي محوري نيروي تحت 3 عربملکي وحيد 2 جواديان حسين 1* رضائي موسي تبريز دانشگاه مکانيک مهندسي فني دانشکده دانشيار 1- تبريز دانشگاه مکانيک مهندسي فني دانشکده ارشد کارشناسي دانشجوي 2- تبريز دانشگاه مکانيک مهندسي فني دانشکده دکتری دانشجوي 3- چکیده 1394/4/29( پذیرش: 1391/9/22 )دریافت: ارتعاشي آناليز اساس بر محوري نيروي تحت ترکدار يکسرگيردار کوتاه تير عيبيابي و ارتعاشي رفتار بررسي پژوهش اين در معيوب مقطع است. شده گرفته نظر در دوراني اينرسي و برشي شکل تغيير محوري نيروي اثرات منظور بدين است. شده ارائه شده مدل پيچشي فنر بصورت ترک ميکند. تقسيم قسمت دو به را تير که شده گرفته نظر در پذير انعطاف جزء يک صورت به ارتعاشي رفتار بر حاکم معادالت استخراج از پس است. آمده دست به شکست مکانيک تئوري از آن معادل سفتي که است زا معکوس روش به عيبيابي منظور به است. شده استخراج مستقيم روش به معيوب تير ارتعاشي مشخصههاي ترکدار تير بر ترک پارامترهاي و محوري نيروي اثرات نهايت در ميشود. تعيين ترک عمق و موقعيت و شده استفاده ارتعاشي مشخصههاي به پيشين تحقيقات در شده ارائه تجربی و تئوری نتايج از استفاده با آمده دست به نتايج صحت شود. مي بررسي ارتعاشي پاسخ است. رسيده اثبات کلیدی کلمات عيبيابي تيموشنکو تير محوري نيروي ترکدار تير Email: m_rezaee@tabrizu.ac.ir مکاتبات دار عهده و مسئول نویسنده *

محوري نيروي تحت ترکدار يکسرگيردار کوتاه تير عيبيابي و ارتعاشي رفتار بررسي 1-1 مقدمه يک دادن قرار نظر تحت توانايي زمينه در تحقيق اخير سالهاي در ممکن مرحله زودترين در آن احتمالي ديدگيهاي آسيب تعيين و سازه ميدهد نشان تحقيقات است. گرفته قرار محققين از بسياري توجه مورد باشد. سازهها عيبيابي در مؤثري روش ميتواند ارتعاشي تحليل که مبناي بر سازه ارتعاشي مشخصات اساس بر عيبيابي روش اوليه ايده شکلهاي و فرکانسها شامل سازه ارتعاشي مشخصههاي وابستگي ترتيب بدين ميباشد. سفتي و جرم جمله از فيزيکي خواص به مودي هب سازه ارتعاشي مشخصههاي تغييرات بررسي و اندازهگيري با ميتوان آناليز اساس بر عيبيابي روش در پيبرد. آن فيزيکي خواص در تغييرات ترک مشخصههاي سازه ارتعاشي مشخصات بودن معلوم با ارتعاشي ميشوند. محاسبه آن شدت و موقعيت شامل را ترکدار تير ارتعاشي رفتار روي بر عيب اثرات متعددي محققان شده انجام تحقيقات از خالصهاي دوبلينگ دادهاند. قرار بررسي مورد ارائه را ارتعاشي آناليز اساس بر سازهها در ترک شناسايي زمينه در و موقعيت برآورد روشهاي مذکور تحقيق اساس بر ]1[. است کرده ]6-2[ طبيعي فرکانسهاي تغييرات بررسي براساس عموما ترک عمق 1 ديناميکي سفتي اندازهگيري يا ]7-5[ ارتعاشي مودهاي شکل تغييرات در شده انجام تحقيقات از خالصهاي سالوا ميپذيرد. صورت ]1-8[ فرکانسهاي تغييرات بررسي اساس بر سازهها در ترک شناسايي زمينه ترکدار ميله طولي ارتعاش پ ی و آدامز ]11[. است کرده ارائه را طبيعي ترک تحليل اين منظور به آنها ]12[. دادهاند قرار بررسي مورد را دو که کوچک بينهايت طول با و جرم بدون فنر يک صورت به را مدل ميسازد مرتبط هم به را ترک محل در ميله شده تقسيم جزء روي بر ترک اثر بررسي به ]13[ کراوسوزيک و اوستاچوویچز کردند. استفاده با آنها پرداختند. ترک دو با يکسرگيردار تير طبيعي فرکانسهاي آوردند دست به را ترک محل در ترک معادل سفتي شکست مکانيک از را ترکدار تير طبيعي فرکانسهاي تير فرکانسي معادله از استفاده با و ارتعاشات براي پيوسته مدل يک ]14[ اينمان و کارنيرو کردند. محاسبه روشي ][ ل لی و مايتی دادند. ارائه ترکدار تيموشنکو تير عرضي ارتعاشات از استفاده با کوتاه تيرهاي در ترک کردن مشخص براي در دوراني اينرسي و برشي نيروي اثر روش اين در دادند. ارائه عرضي است. گرفته قرار بررسي مورد محوري نيروهاي حضور بدون کوتاه تير اينرسي و برشي نيروهاي اثر نگرفتن نظر در با که دادند نشان آنها در مييابد افزايش %2 تا خطا مقدار کوتاه تيرهاي براي دوراني تا خطا مقدار کوتاه تيرهاي به مربوط معادالت از استفاده با حاليکه مقطع سطح ارتفاع به تير طول نسبت چه هر و مييابد کاهش % برنولي اويلر تئوري نتايج و ميشود کمتر اختالف اين باشد بيشتر آن ترک محل و عمق تعيين براي روشي همچنين آنها ميشود. دقيقتر ارائه ميآيند دست به آزمايش از که تير طبيعي فرکانسهاي براساس باز ترک دو داراي تيرهاي در ترک تشخيص براي ]16[ دوکا دادند. باعث ترک وجود که دادند نشان و دادند انجام تحقيقي تير امتداد در عنوان به آن از ميتوان که ميشود تير طبيعي فرکانسهاي در تغيير تير ارتعاشات ]17[ باريس کرد. استفاده ترک تشخيص در مشخصه يک مطالعه مورد را محوري نيروي تاثير تحت باز ترک چند با برنولي اولر بار مقدار %3 تا که فشاري بارهاي که است داده نشان و داده قرار تغيير % تا را تير طبيعي فرکانس اولين ميتوانند هستند کمانش با ]18[ فريسول و سينها است. کمتر فرکانها ساير در اثر اين دهند. ترکيابي و ارتعاشي رفتار بررسي به برنولي اويلر تير تئوري از استفاده رفتار بررسي به ]19[ همکاران و خواجی پرداختهاند. ترکدار تير در ترک آنها پرداختهاند. ترکدار کوتاه تيرهاي در ترکيابي و ارتعاشي با را نتايج و نمودهاند مدل پيچشي فنر توسط و باز ترک صورت به را اسماعيلزاده دادهاند. قرار مقايسه مورد عددي روشهاي از حاصل نتايج آناليز از استفاده با مستطيلي صفحات در ترکيابي ]2[ رضائي و خادم مشخص براي معکوس روشي و دادهاند قرار بررسي مورد را ارتعاشي آنها همچنين دادهاند. ارائه فرکانسي پاسخهاي به توجه با ترک نمودن جدار لولههاي ترکيابي براي را جديدي روش ]21[ 1379 سال در تير زمينه اين در شده انجام تحقيقات از بسياري در دادند. ارائه ضخيم سازههاي در است. شده گرفته نظر در خارجي نيروهاي حضور بدون هستند خارجي نيروهاي تأثير تحت سازه در رفته کار به تيرهاي واقعي خواهد نتايج در خطا باعث عامل اين نگرفتن نظر در که است بديهي و و م ی توسط زمينه اين در گرفته صورت تحقيق جديدترين در شد. مورد محوري نيروي تحت ترکدار تيموشنکوي تير ]22[ همکاران فرکانسهاي 2 موج انتشار روش از استفاده با و است گرفته قرار بررسي تحليل به تنها مذکور تحقيق در است. آمده دست به تير نوع اين طبيعي گونه اين در ترک شناسايي براي روشي و است شده پرداخته فرکانسي است. نگرديده ارائه تيرها محوري نيروي تحت تيموشنکو تير در ترک شناسايي مقاله اين در ترك و ميشود گرفته نظر در باز ترك صورت به عيب ميشود. بررسي مدل ميکند تقسيم قسمت دو به را تير که پيچشي فنر يك صورت به با تركدار تير ارتعاشي رفتار بر حاكم معادالت استخراج از پس ميشود. روش به معيوب تير ارتعاشي مشخصههاي هميلتون اصل از استفاده معكوس روش به عيبيابي منظور به سپس ميشوند. استخراج مستقيم تعيين ترك عمق و محل و شده استفاده ارتعاشي مشخصههاي از اينرسي و برشي نيروي اثر مدل دقت بردن باال منظور به ميشود. به سپس شد. خواهد گرفته نظر در محوري نيروي همچنين و دوراني )موقعيت ترک پارامترهاي همچنين و محوري نيروي اثرات بررسي نتايج از نهايت در ميشود. پرداخته ارتعاشي پاسخ بر ترک( عمق و به روش صحت تأييد براي موجود تحليلي نتايج و تجربي تستهاي ميشود. استفاده آمده دست 2 Wave propagation 1 Dynamic stiffness 1394 زمستان 2 شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه 2

موسي رضائي حسين جواديان وحيد عربملکی 2-2 استخراج روابط حاکم بر رفتار ارتعاشي تير 1 کوتاه ترک-دار تحت نيروي محوري در تحقيق حاضر ارتعاشات آزاد تير کوتاه داراي ترک خستگي عرضي L 1 از ابتداي تير مورد بررسي قرار گرفته است )شکل 1(. ترک در فاصله K t که مقدار قرارگرفته است. ترک به صورت يک فنر پيچشي با سفتي آن از رابطه )1( تعيين ميشود مدل شده است ]23[. لکششکشمدل تير کوتاه ترک دار در رابطه فوق E مدول االستيسيته h و w به ترتيب ارتفاع و عرض سطح ( f توسط رابطه زير تعيين ميشود ]24[: a ) h مقطع تير ميباشند و é 2 2 3 a a a a f ( ) ù = 1.2769-3.15 + 14.878 æ ö -25.8 æ ö ê h h çh çh ë ú û è ø è ø 4 5 6 æaö æaö æaö + 45.32-51.33 + 64.39 ç èh ø çèhø çèhø با استفاده از اصل هميلتون رابطه حاکم بر رفتار ارتعاشي تير کوتاه تحت نيروي محوري به صورت زير به دست ميآيد: با جايگذاري روابط یاد شده در روابط )3( و )4( خواهيم داشت: براي حل رابطههاي )7( و )8( دو رابطه را در يکديگر ادغام و نسبت به يکي از متغيرها حل ميکنيم. با حذف تابع ψ,x) t)s از رابطههاي )7( و )8( داريم: 7 æaö 62.96 æ - aö æaö ç + çèh 2.9-243.2 ø ç èh ø çèh ø æaö æaö + 83.16 + 225.6 ç èh ø çèh ø 8 1 12 9 جواب رابطه )9( به شکل زير ميباشد: که در آن y خيز عرضي ψ زاويه دوران مقطع عرضی تیر ناشي از گشتاور خمشي E مدول االستيسيته G مدول برشي A مساحت سطح مقطع I ممان اينرسي سطح ρ چگالي و κ ضريب سطح است که به شکل سطح مقطع تير بستگي دارد و P نيروي محوري است. براي حل روابط )3( و )4( توابع ψ x), t)s و y x), t)s را به صورت زير در نظر ميگيريم: به طريق مشابه تابع ψ,x) t)s را میتوان به صورت زير به دست آورد: در روابط )1( و )11( پارامترها به صورت زير تعريف ميشوند: نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره 2 زمستان 1394 3

بررسي رفتار ارتعاشي و عيبيابي تير کوتاه يکسرگيردار ترکدار تحت نيروي محوري B i ضرايب ثابتي هستند که مقدار آنها از اعمال شرايط ا A و i و = 1 2 3 4 i مرزي و بين مرزي به دست ميآيند. تنها چهار تا از اين ثوابت مستقل از هم هستند. براي به دست آوردن رابطه بين اين ثوابت روابط )1( و )11( را در رابطه )8( جايگذاري و با متحد قرار دادن ضرايب توابع مثلثاتي در طرفين رابطه خواهيم داشت: صحت روابط به دست آمده را ميتوان با توجه به مرجع ][ که در آن رفتار ارتعاشي تير کوتاه در غياب نيروي محوري بررسي شده است و با صفر قرار دادن مقدار نيروي محوري در روابط فوق به اثبات رساند. در عمل تکيهگاه گيردار به صورت کامال صلب عمل نميکند و تکيهگاه داراي انعطافپذيري است که اصطالحا سفتي مرزي 3 ناميده ميشود ]18[. در تحقيق حاضر براي ايجاد مدل واقع بينانهتر تکيهگاه به صورت K te K θ و فنر راستايي با سفتي غير صلب و توسط فنر پيچشي با سفتي که هر کدام به ترتيب در برابر شيب و خيز تير مقاومت نشان ميدهند مدل شده است )شکل 2(. لکششکشمدل تکيه گاه غير صلب براي تير ترکدار )شکل 1 ( دو قسمت مجزاي تير را ميتوان به صورت جداگانه تحليل کرد. پاسخ هر قسمت از تير را ميتوان به صورت زير نوشت: با توجه به اين که در تير تيموشنکو تحت نيروي محوري نيروي برشي و گشتاور خمشي به صورت زير ميباشد: لذا با استفاده از اصل هميلتون شرايط مرزي براي تير يکسرگيردار با تکيه گاه غير صلب را ميتوان به صورت زير استخراج کرد: D i در روابط فوق C i و با توجه به روابط )( و )16( ارتباط بين ضرايب به صورت زير است: شرايط پيوستگي جابجايي گشتاور و نيروي برشي در محل ترک و اختالف شيب ايجاد شده در طرفين ترک ( * )β=β را ميتوان به ترتيب به صورت زير نوشت: 3 Boundary stiffness نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره 2 زمستان 1394 4

موسي رضائي حسين جواديان وحيد عربملکی که در آن ترک است. ضريب سفتي بيب عد فنر پيچشي مدل کننده 3-3 استخراج فرکانسهاي طبيعي تير ترکدار پس از اعمال شرايط مرزي )25( تا )26( و شرايط بين مرزي )24( تا )3( به روابط )17( تا )2( و در نظر گرفتن روابط )21( و )22( به هشت معادله C i ميرسيم که به صورت زير ميباشد: جبري برحسب ضرايب مجهول که در آن ماتريس ضرايب Δ بستگي به شرايط مرزي و بين مرزي مشخصات هندسي و مکانيکي تير دارد. براي داشتن جواب غير بديهي بايد دترمينان ماتريس ضرايب در رابطه فوق برابر صفر شود لذا معادله فرکانسي به صورت رابطه )32( به دست مي آيد. که در آن * β معرف موقعيت نسبي ترک )نسبت فاصله ترک از تکيهگاه گيردار به طول تير( مي باشد و پارامترهاي کمکي به صورت زير تعريف شدهاند: 4-4 شناسايي ترک در تير براي حل مسأله معکوس که شامل شناسايي ترک در تير ترکدار ميباشد بايستي رابطه بين ضريب سفتي بيب عد شده فنر k و موقعيت ترک * β استخراج شود. بدين منظور از بسط دترمينان Δ حول سطري که در آن ميباشد و با توجه به اينکه k فقط در شرط پيوستگي ترک ظاهر ميشود Δ 2 را به دست Δ 1 و با جداسازي عبارات شامل k ميتوان دو ماتريس آورد که در اين صورت معادله مشخصه را ميتوان به صورت زير بيان کرد: [ D ]{ C i } = نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره 2 زمستان 1394 5

محوري نيروي تحت ترکدار يکسرگيردار کوتاه تير عيبيابي و ارتعاشي رفتار بررسي مود از مستقل ترک موقعيت و k فنر بيب عد سفتي ضريب که آنجايي از رسم و تير اول فرکانس سه حداقل داشتن با لذا هستند تير ارتعاشي نمودار سه اين تقاطع محل از ميتوان )37(( )رابطه β برحسب k نمودار در دقيقا نمودار سه اگر آورد. دست به را فنر سفتي ضريب و ترک موقعيت تالقي تقاط هندسي مرکز مختصههاي از نکنند قطع را همديگر نقطه يک ميکنيم. استفاده ترک مختصههاي استخراج براي نمودارها استفاده با آن عمق و موقعيت تشخيص ترک شناسايي از هدف به تحليلي حل از که طبيعي فرکانسهاي است. طبيعي فرکانسهاي از خطايي مطمئنا اختالف اين دارند. اختالف تجربي مقادير با ميآيند دست دليل همين به کرد. خواهد ايجاد معکوس روش در ترک شناسايي در را در شده گرفته کار به روش برسد. حداقل به خطا اين که ميشود سعي در خطا رساندن حداقل به براي روش اين در دارد. نام 4 سازي ميزان اينجا نظر مورد تير براي آمده دست به فرکانسهاي اختالف از ترک شناسايي ω e و تحليلي فرکانس ω t اگر ميشود. استفاده تجربي و تحليلي صورت به محاسبات هنگام باشد تجربي تستهاي از آمده دست به تجربي فرکانس استفاده )E D ( شده اصالح يانگ مدول از تير در ترک شناسايي به مربوط ][: ميشود محاسبه زير رابطه از شده اصالح يانگ مدول ميکنيم. تحلیلی 5-5 نتایج نمونه موجود نتايج با فوق روش از حاصل نتايج مقايسه منظور به مطابق مکانيکي مشخصات و هندسي ابعاد با ترکدار يکسرگيردار تير شناسايي به که ]18[ مرجع در ميدهيم. قرار بررسي مورد را 1 جدول گيردار تگيهگاه است پرداخته يکسرگيردار برنولي اويلر تير در ترک منظور به حاضر تحقيق در است. شده مدل صلب غير صورت به سالم تير فرکانسهاي با سالم تير طبيعي فرکانسهاي سازي يکسان مقادير با صلب غير صورت به گيردار تکيهگاه تجربي نتايج از حاصل به براي است. شده گرفته نظر در 1 جدول مطابق مرزي سفتي موقعيت و عمق با ترکدار تير طبيعي فرکانسهاي آوردن دست )32(( )رابطه فرکانسي معادله است الزم ترک مشخص نسبي منظور به شود. حل فرکانسي پارامتر آوردن دست به منظور به و عمق با ترکدار يکسرگيردار تير فرکانسي معادله مدل تصديق نتايج و شده استخراج محوري نيروي تحت مختلف موقعيتهاي مقايسه مورد آزمايشگاهي نتايج با طبيعي فرکانسهاي براي حاصل ترکدار يکسرگيردار آلومينيومي تير اول نمونه در است. گرفته قرار از آن طبيعي فرکانسهاي ترک مختلف عمق و موقعيت ازاي به که مورد شدهاند استخراج ][ مرجع در موجود تجربي تستهاي نتايج ميگيرد. قرار بررسي يکسرگيردار تيرهاي هندسي و مکانيکي لودججدجمشخصات مختلف جنسهاي با محوري نيروي تحت جنس )υ( پواسون نسبت آلومينيوم مس.29 51 6754.356 3 26.388 5.368e6 EI (Nm 2 ) κga (N) ρa (kg/m) )L( تير طول )w( تير عرض )h( تير ارتفاع.544 19 (mm) 12.7 (mm) 31.8 (mm).778 1 (mm) 12 (mm) 24.5 (mm) K θ = knm/rad K te = 26.5 MN/m مرزی: سفتی هاي فرکانس 2 جدول در تجربي و تئوري نتايج مقايسه منظور به براي ][ مرجع در که تجربي نتايج و شده ارائه مدل از حاصل طبيعي بيب عد پارامتر a = h/a است. شده آورده است شده ارائه آلومينيومي تير ارتفاع به ترک عمق )نسبت ترک نسبي عمق دهنده نشان که است ترک ميشود مالحظه 2 جدول از که همانطوري ميباشد. تير( مقطع سطح %8/5 تجربي نتايج با طبيعي فرکانسهاي تعيين در مدل خطاي حداکثر مشاهده و آمدهاند دست به محوري نيروهاي غياب در فوق نتايج ميباشد. طبيعي فرکانسهاي تعيين در شده ارائه مدل خطاي ميانگين که ميشود رفتار بررسي به که ميباشد ][ مرجع شده ارائه نتايج خطاي از کمتر پرداخته محوري نيروي غياب در کوتاه تيرهاي در عيبيابي و ارتعاشي تکيهگاه بودن غيرصلب فرض از ناشي را خطا کاهش اين علت است. تير دوم نمونه در ميباشد. است شده مدل دقت افزايش باعث که گيردار ازاي به است شده بيان 1 جدول در آن مشخصات که ترکدار يکسرگيردار فرکانسهاي و گرفته قرار نيرو تحت ترک مختلف موقعيتهاي و عمق نتايج 3 جدول در است. شده محاسبه فرکانسي معادله از استفاده با طبيعي در موج انتشار روش از استفاده با که نتايجي و شده ارائه مدل از حاصل است. شده داده نشان مقايسه منظور به آمدهاند دست به ]22[ مرجع نتايج کششي نيروي محدوده در است مشخص 3 جدول از گونه همان دارند. هم با قبولي قابل سازگاري موجود نتايج و تيموشنکو مدل از حاصل و %6/12 ترتيب %3/4 به مدل خطاي حداکثر اول سه فرکانس براي هک ميشود مشاهده 3 جدول به توجه با همچنين ميآيد. بهدست %3/87 ميشود. تير طبيعي فرکانسهاي افزايش باعث کششي نيروي فرکانسهاي کاهش سبب و شده تير نرمي باعث ترک نيرو تاثير از جدا اول فرکانسي نسبت تغييرات منحني 3 شکل در ميشود. تير طبيعي متناظر طبيعي فرکانس اولين به ترکدار تير اول طبيعي فرکانس )نسبت در شده ارائه مدل از استفاده با شده محاسبه ترک( بدون تيموشنکو تير در موقعيت مختلف مقادير ازاي به ترک نسبي عمق حسب بر حاضر تحقيق است. شده رسم محوري نيروي و ترک نسبي 4 Zero setting 1394 زمستان 2 شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه 6

عربملکی وحيد جواديان حسين رضائي موسي ازاي به تجربي نتايج و شده ارائه تئوري مدل از حاصل آلومينيومي ترکدار سرگيردار يک تير طبيعي فرکانسهاي لودججدجمقايسه β *.2= نسبي عمق و 6=α نسبي موقعيت )Hz( فرکانس شده ارائه مدل نتايج ][ تجربي نتايج Lele [] )%( خطا شده ارائه مدل Lele [] f 1 11. 162.5 171.2 3.5 2.62 f 2 785. 8522.7 923.6 8.5 14.95 f 3 178 1934.58 1955 6.8 7.5 ترک مشخص عمق و موقعيت ازاي به است مشخص که گونه همان فرکانسي نسبت روي بر ترک اثر کاهش سبب کششي محوري نيروي ميشود. فرکانس بر ترک موقعيت محوري نيروي تحت يکسرگيردار تير در انتهاي به ترک موقعيت چه هر 3 شکل به توجه با ميگذارد اثر اصلي طبيعي مييابد. کاهش اول طبيعي فرکانس بر آن تأثير ميشود نزديکتر تير آزاد فرکانس کاهش تغييرات که ميدهد نشان ) 3 -ج( شکل ميشود کوچک ترک عمق که هنگامي اول مود براي اول طبيعي کم بسيار ميشود نزديک تير آزاد انتهاي به ترک که هنگامي يا و فرکانس بر ترک اثرات از ميتوان حالتي چنين در بنابراين ميشود شکلهاي به توجه با مشابهي نتيجه نمود. صرفنظر تير اول طبيعي بر سوم فرکانسي نسبت و دوم فرکانسي نسبت تغييرات که 5 و 4 حاصل ديگر مود دو براي ميدهند نشان را ترک نسبي موقعيت حسب فرکانس کاهش کمترين دوم مود براي که تفاوت اين با ميشود. β * = /22 موقعيت و تير آزاد انتهاي در واقع ترک به مربوط طبيعي باشد. مي مربوط طبيعي فرکانس کاهش کمترين سوم مود براي که صورتي در علت است. β * = /5 و β * = /14 و تير آزاد انتهاي در واقع ترک به به اول مود در که کرد بيان صورت بدين اختصار طور به ميتوان را امر اين است صفر برابر تير آزاد انتهاي در ارتعاشي مود شکل تابع دوم مشتق مودهاي در تير ارتعاش اثر در شده ايجاد خمشي گشتاور ديگر عبارت به عمدهترين که اين با توجه با و است صفر مذکور نقاط در سوم و دوم خمشي گشتاور اثر در ترک از ناشي طبيعي فرکانسهاي کاهش عامل آزاد انتهاي به ترک موقعيت چه هر اول ارتعاشي مود در بنابراين ميباشد مود در مييابد. کاهش اول طبيعي فرکانس بر آن اثر ميشود نزديک تير وجود خمشي گشتاور تير آزاد انتهاي در که اين بر عالوه دوم ارتعاشي حالي در است ارتعاشي مود شکل تابع عطف نقطه /22 موقعيت ندارد نقاط /5 و /14 موقعيتهاي در تير انتهاي بر عالوه سوم مود در که میشوند. حاصل مود شکل تابع در عطف عيبيابي براي معکوس مسأله 6-6 تبيين شده ارزيابي ترک موقعيت و اندازه مختلف حالتهاي براي ترکيابي مسأله که تير اول طبيعي فرکانس سه از ترک شناسايي براي معکوس حل در است. ميشود. استفاده مسأله ورودي عنوان به ميآيند دست به تجربي نتايج از هدش ارائه مدل از آمده دست به محوري نيروي تحت ترکدار تيموشنکو تير طبيعي لودججدجفرکانسهاي ]22[ مرجع در شده ارائه نتايج با آن مقايسه و )Hz( طبیعی های فرکانس تحلیلی نتایج ]22[ مرجع نتایج نسبی عمق موقعيت نسبي نیرو P(N)l β * α f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 f 3 f 1 )%( خطا f 2 f 3 45.8 233.2 6 46. 225 592.8.41 3.51 1.3 35. 223.1 588.4 34.1 2.2 571.2 2.6 3.67 3.1 46.6 226.5 627.1 46.8 224.3 614.4.43 1. 2.7 36. 212.7 6.4 35.2 214.3 592.6 2.27.75 3.81 46.1 23.8 626.9 46.8 217.1 614.3 1.5 6.12 2.39 34.6 212.4 6.4 34.9 27. 592.5.87 2.56 3.87.8 46.7 236.2 61.2 46.8 226. 594.5.2 4.51 1.12.8 36.5 223. 588.4 35.3 2.4 572.2 3.4 3.53 2.81 7 1394 زمستان 2 شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه

بررسي رفتار ارتعاشي و عيبيابي تير کوتاه يکسرگيردار ترکدار تحت نيروي محوري )الف( )ب( لکششکشتغييرات نسبت فرکانسي دوم برحسب موقعيت نسبي ترک تحت نيروي محوري که مشخصات آن در جدول 1 ذکر شده است استفاده ميکنيم. بر طبق مرجع ]22[ در سه نمونه از اين تير ترکي به عمق نسبي /3 و در موقعيتهاي نسبي /3 و /5 و /8 از ابتداي آن ايجاد شده است. فرکانسهاي طبيعي اين نمونهها که تحت نيروي محوري متفاوت قرار گرفته و از مرجع ]22[ به دست آمدهاند در جدول 3 ذکر شدهاند. منحني تغييرات k بر حسب موقعيت نسبي ترک در سه فرکانس اول براي هر تیر ترکدار در شکل 6 نشان داده شده است. مختصههاي افقي و عمودي محل تالقي اين منحنيها به ترتيب موقعيت نسبي ترک و مقدار سفتي موضعي بيب عد ترک را مشخص ميکنند. )ج( لکششکشتغييرات نسبت فرکانسي اول برحسب عمق نسبي ترک به ازاي مقادير مختلف نيروي محوري و موقعيتهاي نسبي ترک با معلوم بودن فرکانسهاي طبيعي با استفاده از رابطه 32 نمودار تغييرات سفتي موضعي بيبعد بر حسب متغير موقعيت نسبي ترک را در سه مود فرکانسي رسم ميکنيم. محل تالقي اين سه منحني موقعيت نسبي و سفتي بيب عد متناظر با ترک را در اختيار ميگذارند. با k t و ارتباط آن با عمق ترک که در رابطه )1( بيان شده معلوم بودن مقدار است ميتوان عمق ترک را به دست آورد. اگر در رسم منحنيهاي مذکور از فرکانسهاي طبيعي محاسبه شده با استفاده از تئوري ارائه شده استفاده شود در اين صورت اين سه منحني دقيقا در يک نقطه همديگر را قطع ميکنند. اما همانطور که در جدول 2 مشاهده ميشود بين فرکانسهاي تحليلي و فرکانسهاي طبيعي به دست آمده از تستهاي تجربي اختالف وجود دارد که اين اختالف سبب ميشود منحنيهاي k - β دقيقا در يک نقطه همديگر را قطع نکنند لذا از مقدار ميانگين k و β براي به دست آوردن موقعيت و سفتي موضعي بيب عد متناظر ترک استفاده ميکنيم. به منظور مقايسه نتايج مدل ارائه شده با نتايج موجود از تير يکسرگيردار لکششکشتغييرات نسبت فرکانسي سوم برحسب موقعيت نسبي ترک لکششکشمنحني تغييرات k بر حسب موقعيت نسبي ترک در سه فرکانس اول برای تیر یکسرگیردار نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره 2 زمستان 1394 8

موسي رضائي حسين جواديان وحيد عربملکی لودججدجمقايسه نتايج تحليلي و واقعي عمق و موقعيت ترک براي تير نمونه دوم ذکر شده در جدول 1 فرکانس های طبیعی )Hz( ]22[ عمق ترک موقعيت نسبي ترک نیرو β * P(N)l α f 1 f 2 f 3 خطای عمق خطاي موقعيت مقدار تحليلي مقدار تحليلي β * α ترک )%( ترک )%( 46. 225. 592.8 1 2 3.33 6.71 34.1 2.2 571.2.28.26 6.67 13.12 46.8 224.3 614.4 2 4 4. 13.13 35.2 214.3 592.6 3.28 6.1 6.67 46.8 217.1 614.3 1.43 2. 14. 34.9 27. 592.5 3 5 6.1 1. در جدول 4 موقعيت و عمق ترک پيشبيني شده براي نمونه دوم با مقادير واقعي که از مرجع ]22[ استخراج شدهاند مورد مقايسه قرار گرفته است. حداکثر خطا در تخمين عمق ترک در بدترين شرايط %14 و در پيشبيني موقعيت ترک به کمتر از مورد %7 ميباشد. نمودارهاي k برحسب β در انتهاي تير به سمت صفر ميل ميکنند و در عين حال نيز بايد در يک نقطه همگرا شوند. به همين دليل خطا براي شناسايي ترکي که به اتهاي آزاد تير نزديک ميشود افزايش مييابد. در مرجع ]18[ که با استفاده از روش المان محدود به ترک يابي در تير اويلر برنولي ترکدار پرداخته است حداکثر خطاي مدل در تعيين عمق ترک را %3 و موقعيت ترک را %5 گزارش کرده است. همچنين در مرجع ]25[ که بر اساس آناليز ارتعاشي به عيبيابي در تير ترکدار پرداخته است حداکثر خطاي مربوط به تعيين عمق و موقعيت ترک در تير يکسرگيردار را به ترتيب %25 و %12 گزارش شده است. با توجه به نتايج مذکور مشاهده ميشود که پيشبيني عمق و موقعيت ترک با استفاده از مدل ارائه شده در مقايسه با مدلهاي مشابه از دقت مطلوبي برخوردار است. 7-7 نتيجه گيري در تحقيق حاضر رفتار ارتعاشي و ترکيابي در تيرهاي کوتاه تحت نيروي محوري مورد بررسي قرار گرفت. نتايج حاصل از اين تحقيق را به اختصار ميتوان به صورت زير بيان نمود: 1( به ازاي عمق مشخص ترک موقعيت ترک بر کاهش فرکانسهاي طبيعي اثر ميگذارد. از آنجايي که عمدهترين عامل کاهش فرکانسهاي طبيعي ناشي از ترک در اثر گشتاور خمشي ميباشد لذا در موقعيتهايي که مقدار گشتاور خمشي به صفر ميل ميکند اثر ترک بر فرکانسهاي طبيعي کاهش مييابد. در تير يکسرگيردار ترکدار کمترين کاهش فرکانسي در مود اول مربوط به ترک واقع در انتهاي آزاد تير در مود دوم مربوط به ترک واقع در موقعيتهاي انتهاي آزاد تير و = /22 * β و در شکل مود سوم مربوط به ترک واقع موقعيتهاي انتهاي آزاد تير = /14 * β و /5= * β ميباشد که در نقاط مذکور مقدار گشتاور خمشی برابر صفر است. 2( وجود ترک باعث کاهش سفتي موضعي تير ميشود و در يک موقعيت مشخص ترک با عمق بيشتر تأثير بيشتري بر مشخصههاي ارتعاشي نسبت به ترک با عمق کمتر دارد. 3( به ازاي عمق و موقعيت مشخص ترک نيروي محوري کششي سبب کاهش اثر ترک بر نسبت فرکانسي ميشود و همچنين نيروي کششي باعث افزايش فرکانسهاي طبيعي تير ميشود. 4( در مسأله معکوس حداکثر خطاي مدل ارائه شده در تخمين عمق ترک در بدترين شرايط %14 و در پيشبيني موقعيت ترک کمتر از %7 ميباشد. نتايج نشان ميدهند که استفاده از مدل ارائه شده ضمن اين که به اطالعات کمي از رفتار ارتعاشي سازه نياز دارد در مقايسه با مدلهاي مشابه از دقت مطلوبي برخوردار است. 8-8 مراجع [1] S. W. Dobeling, C. R. Farrar and M. B. Prime, A summary review of vibration-based damage identification methods, Shock and Vibration Digest, Vol. 3, pp. 91-15, 1998. [2] P. Cawly and R. D. Adams, The locations of defects in structures from measurements of natural frequencies, Journal of Strain Analysis, Vol. 14, pp. 49-57, 1979. [3] M. I. Friswell, J. E. T. Penny and D. A. L. Wilson, Using vibration data and statistical measures to locate damage in structures, the International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis, Vol. 9, pp.239-254, 1994. [4] Y. Narkis, Identification of crack location in vibrating simply supported beams, Journal of Sound and Vibration, Vol. 172, pp. 54 9-558, 1994. [5] A. K. Pandey, M. Biswas and M. M. Samman, Damage detection from change in curvature mode shapes, Journal of Sound and Vibration,Vol.145, pp. 321-335, 1991. [6] C. P. Ratcliffe, Damage detection using a modified نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره 2 زمستان 1394 9

بررسي رفتار ارتعاشي و عيبيابي تير کوتاه يکسرگيردار ترکدار تحت نيروي محوري [16] E. Douka, G. Bamnios, A. Trochidis, a method for determining the location and depth of cracks in double-cracked beams, Applied Acoustics, Vol. 65, pp. 997 18, 24. [17] B. Binici, Vibration of beam with multiple open cracks subjected to axial force, J. of Sound and Vibration, Vol. 287, pp. 277 295, 25. [18] J. K. Sinha, M. I. Friswell and S. Edwards, Simplified models for the location of cracks in beam structures using measured vibration data, Journal of Sound and vibration, Vol. 251, No. 1, pp. 13-38, 22. [19] N. Khaji, M. Shafiei, M. Jalalpour, Closed-form solutions for crack detection problem of Timoshenko beams with various boundary conditions, International Journal of Mechanical Sciences, No. 51, pp. 667-681, 29. ] 2[2 ]س. اسماعيل زاده خادم و موسي رضائي تعيين موقعيت و عمق ترک سرتاسري در صفحات مستطيلي با استفاده از آناليز ارتعاشي مجله بين المللي علوم مهندسي شماره دوم جلد نهم زمستان 1377 صفحه 29-17. ] 2[2 ]س. اسماعيل زاده خادم م. حاجي احمدي و موسي رضائي ترک يابي در لوله هاي ضخيم به روش آناليز ارتعاشي مجله بينالمللي علوم مهندسي شماره ششم جلد يازدهم زمستان 1379 صفحه.165-7 [22] C. Mei, Y. Karpenko, S. Moody, analytical approach to free and forced vibrations of axially loaded cracked timoshenko beams, Journal of Sound and Vibration, Vol. 291, pp. 141-16, 26. [23] E. E. Gdoutos, Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, 24. [24] T. D. Chaudhari and S. K. Maiti, A study of vibration of geometrically segmented beams with and without cracks, International Journal of Solids and Structures, Vol. 37, pp. 761-779,2. [25] Young-Shin Lee, Myung-Jee Chung, A study on crack detection using eigenfrequency test data, Computers and Structures, No. 77, pp. 327-342, 2. Laplacian operator on mode shape data, Journal of Sound and Vibration, Vol. 24, 55-517, 1997. [7] P. F. Rizos, N.Aspragathos and A. D. Dimarogonas, Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam, Journal of Sound and Vibration, Vol. 138, pp. 381-388, 199. [8] A. K. Pandey and M. Biswas, Damage detection in structures using change in flexibility, Journal of Sound and Vibration, Vol. 169, pp. 3-17, 1994. [9] S. W. Doebling, L. D. Peterson and K. F. Alvin, Estimation of reciprocal residual flexibility from experimental modal data, American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, Vol. 34, pp. 1678-1685, 1996. [1] T. W. Lim, Structural damage detection using modal test data, American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, Vol. 29, pp. 2271-2274, 1991. [11] O. S. Salawu, Detection of structural damage through changes in frequencies: a review, Engineering Structures, Vol. 19, pp. 718-723, 1997. [12] Adams, R. D., Cawly, P., Pye, C. J., and Stone, B. J. Vibration Techniques for Nondestructively Assessing the Integrity, Journal of Mechanical Engineering Science, Vol.2 No. 2, pp. 93-1, 1978. [13] W.M. Ostachowicz, M. Krawczuk, Analysis of the Cracks on the Natural Frequencies of a cantilever Beam, Joutnal of Sound and Vibration, Vol., No. 2, pp. 191-21, 1991. [14] Sergio H. S. Carneiro and Daniel J. Inman, Continuous Model for the Transverse Vibration of Cracked Timoshenko Beams, Transactions of the ASME, Vol. 124, 31-32, 22. [] S. P. Lele and S. K. Maiti, Modelling of Transverse Vibration of Short Beams for Crack Detection and Measurement of Crack Extension, Journal of Sound and Vibration, Vol. 257, No. 3, pp. 559-583, 22. نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره 2 زمستان 1394 1